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当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。
工作过程
蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤:构造或描述概率过程;实现从已知概率分布抽样;建立各种估计量。
蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤:
1构造或描述概率过程
对于本身就具有随机性质的问题,如粒子输运问题,主要是正确描述和模拟这个概率过 程,对于本来不是随机性质的确定性问题,比如计算定积分,就!须事先构造一个人为的概率过程,它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
2实现从已知概率分布抽样
构造了概率模型以后,由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的,因此产生已知概率分布的随机变量或随机向量,就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段,这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。!简单、!基本、!重要的一个概率分布是0,1上的均匀分布或称矩形分布。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样,也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。
3建立各种估计量
一般说来,构造了概率模型并能从中抽样后,即实现模拟实验后,我们就要确定一个随机变量,作为所要求的问题的解,我们称它为无偏估计。建立各种估计量,相当于对模拟实验的结果进行考察和登记,从中得到问题的解。
数学应用:
通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者-没有解析解的问题,蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中!常见的应用就是蒙特·卡罗积分。
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